关于单多普勒雷达资料的VVP反演方法的讨论

李中华^⑴  魏鸣^⑵ 肖艳姣^⑶

（^⑴湖北气象技术装备中心，武汉 430074）（^⑵南京大学大气科学系，南京 210093）

（^⑶武汉中心气象台，武汉 430074）

摘  要

探讨了VVP技术反演三维风场产生较大误差的根本原因，认为系数矩阵的病态问题是严重制约垂直速度场及其它参数有效反演的重要原因。提出了在病态矩阵中判断病态分量的分量条件数和预优共轭梯度方法，力求克服线性方程组的病态矩阵问题。在理论研究的基础上，用多普勒天气雷达实测资料进行了反演试验，结果表明：本文的方法基本上能够使三维风场得到合理反演。

关键词：多普勒雷达   VVP方法   三维风场反演   预优共轭梯度方法

引言

由于多普勒天气雷达探测的只是风场在雷达径向的分量，其所显示的速度图像对风场信息的解释并不直接，为了把多普勒雷达速度资料中反映的风场信息用预报员所熟悉的方式表示就需要进行风场反演。自从多普勒天气雷达问世以来，针对如何从单部多普勒雷达径向速度资料提取风场信息，人们已提出了许多方法。Lhermitte和Atlas(1961年) 提出了VAD(Velocity Azimuth Display)方法，该方法在均匀风的假设条件下从单多普勒速度资料中反演出平均风向风速。随后，Caton(1963年) 、Browning和Wexler(1968年) 风场线性分布的假设下完善了VAD技术，进一步从单部多普勒雷达径向速度随方位角的分布中反演出区域内的平均散度、伸长形变量和切变形变量等随高度的分布曲线，不能得到流场的精细结构。Waldteufel和Corbin(1979) 提出一种速度体积处理(VVP)方法，该方法采用径向、切向及垂直三方向构成的三维空间作为分析体积，在分析体积内假设径向风场呈线性分布，而且一个体积扫描期间风场不随时间而变的情况下反演风场的。由于VVP方法要求多达七个仰角的立体扫描，并要对每个约30 的扇形体积中的数千个数据进行最小二乘法拟合，工作量非常大，且反演出来的风场的空间分辨率只有 ，因此至今没被广泛使用。魏鸣(1998年) 探讨了VVP方法反演风场产生较大误差的根本原因，认为其系数矩阵的病态问题是严重制约垂直速度场及其它参数有效反演的重要原因，由此，提出了在病态矩阵中判断病态分量的分量条件数和预优共轭梯度方法，力求克服线性方程组的病态矩阵问题。本文介绍了VVP方法反演风场产生较大误差的根本原因以及共轭梯度法，在理论研究的基础上，利用多普勒天气雷达实测资料进行了风场反演试验。

1 VVP方法反演原理

VVP方法采用径向、切向及垂直三方向构成的三维空间作为分析体积，如图1所示。在分析体积内假设：1）径向风场在分析体积内呈线性分布；2）扫描期间，风场不随时间而变化。根据风场在分析体积内呈线性分布的假设，将径向风场 用 表示，可表示为：

                                                              (1)

其中， 为风场的变量， 为极坐标中各系数。

其中， ， 是分析体积内的资料点， 是分析体积内的总资料点数， 是风场的变量，展开⑵式：

                                                      (3)

令 ，则（3）改写为 ，那么 可表示为：

                           (4)

其中， 代表 、 、 、 、 、 、 、 、 等九个变量。由(4)式可知，理论上只要求出 的逆矩阵，那么这九个变量均可求得。而在实际计算过程中，由于系数矩阵中的各元素 在量级上存在明显差异，在矩阵求解过程中造成大的扰动，引起大的舍入误差，导致系数矩阵的严重病态，下面对其病态问题进行分析。

2 系数矩阵病态问题分析

为了分析VVP线性方程组中系数矩阵的病态问题，必须先从分析(3)式中的各项量级入手。将(3)式简单地表示为：

                                      (5)

如果将构成系数矩阵的基本元素表示如下：

                                                    (6)

那么 、 和 可分别以矩阵形式写为：

其中 和 是在分析体积内对资料点求和。

(6)式中，各项元素之间的量级存在较大的差异。一般在体积扫描中， 从 或接近 的仰角开始抬升，为了增大降水区的距离，仰角 的取值范围有限， 的PPI较多，所以 的值就非常小，而受 影响最大的 和 这两项恰好对应着垂直速度 和垂直风切项 ，这两项的量级仅受 的影响，因而，比其它各项的量级相差约 。 和 这两项的量级比较适中，取值范围在0-1之间。 - 这六项含有径向距离 ，由于 取值范围可从0-200km，所以它们的量级也会出现大的变化，特别是这九个元素在系数矩阵 中不同组合的乘积，更会造成矩阵各元素量级的很大波动。从数值分析理论可知，这种各元素量级上的明显差异，必然会在矩阵求解过程中造成大的扰动，引起大的舍入误差，导致系数矩阵 的严重病态。

3 针对病态矩阵的解法

VVP的线性方程组所对应的系数矩阵 是条件数 很大的矩阵， ，而且它的分量条件数 也有相应的量级。而数值计算理论普遍认为，对于求解条件数很大的病态矩阵，一般的算法难以给出满意的结果，这正是VVP方法过去一直不能正确反演垂直速度场的实质所在。用VVP方法反演三维风场的若干数值实验表明，由于常用的求解一般实矩阵的方法无法消除病态分量造成的小主元扰动，所以往往导致反演的失败，不能有效的反演垂直速度场，如反演的垂直速度 ，有时连反演的水平风场也令人质疑 。

本文选用数值计算方法中的（预优）共轭梯度法 作为求解方法，它将求解线性方程组（5）式的问题转化为求解二次函数 的极小值问题。当系数矩阵的条件数很小或谱分布大部分集中在一点附近而只有很少几个远离此点时，运用共轭梯度法只需很少几步就可得到高精度的近似解，当系数矩阵特征值较均匀地分布在一个很长的区间时，共轭梯度法的收敛速度会很慢，此时，应用预优共轭梯度法或不完全预优共轭梯度法来提高收敛速度。共轭梯度法本质上是一种直接方法，但它的计算公式具有迭代格式的特点。应用共轭梯度法求解线性方程组时，不必事先估计方程组系数矩阵 的特征值的上、下界，不需要选取任何迭代参数，所以使用比较方便，而且它的收敛速度比较块，所占存储空间小，可满足VVP方法实时处理的需要。与其它求解线性方程组的常用方法相比，共轭梯度法对矩阵的元素结构没有特殊要求，它在 的共轭向量系{ }所张成的子空间中寻查方向，避开了小主元的失效，能克服病态分量造成的解的严重误差，是目前一种有效可行的算法。

4 实例分析

选取2个暴雨过程的多普勒雷达资料进行风场反演分析，将其径向速度资料分别进行反演，反演结果与径向速度分布作对比分析。在反演过程中，分析体积的 为相临两个仰角之差， =40距离库（库间距250m）， 。

过程一为2003年6月22—23日，湖北省东部地区发生了一场区域性暴雨和大暴 雨过程，这次过程主要是受发展的江淮气旋波后部的偏北冷气流和副热带高压外围的西南暖湿气流之间的切变线影响形成的。对应的多普勒速度图上，22日21时26分之后，切变线清晰可见并已到达湖北省境内，其长有160km，整体从北往南压，强度图上的对流降水带刚好处在切变线附近。

图2为2003年6月22日23:51分武汉多普勒雷达2km高度的速度CAPPI和反演的水平风场的叠加显示，图中“+”表示雷达位置，冷色调表示朝向雷达的径向速度，暖色调表示离开雷达的径向速度。从速度图中可看出零速度线穿过雷达，呈明显的“L”形，说明在雷达站北边的零速度线附近有风向的辐合（切变线）存在，切变线北侧为西北气流，南侧为西南气流。而从反演的风场来看，风向的辐合（切变线）（见图2中的黑虚线）正好位于雷达北侧的零速度线附近，并且切变线北侧为西北气流，南侧为西南气流。图中接近正北方区域的风场反演因未对方位角 - 间的数据做连续性处理而出现了较大误差，这是程序设计中需要改进的。

5 结论

1）分析了前人工作中VVP方法反演三维风场误差大的根本原因，认为系数矩阵的病态问题是严重制约垂直速度场及其它参数有效反演的重要原因。

2）提出了在病态矩阵中判断病态分量的分量条件数和预优共轭梯度方法，力求克服线性方程组的病态矩阵问题。

3）利用多普勒天气雷达实测资料分别对2003年6月22日和7月8日的切变线和低涡系统进行了反演试验，反演结果与径向速度图的分析结果有较好的一致性。

4）程序设计还有许多不完善之处，例如垂直速度的订正改善等有待于进一步修改完善。

参考文献

[1] Lhermitte,R.M., and D.Atlas, Precipitation motion by pulse Doppler,Preprints Ninth Weather Radar Conf.,Amer.Meteor. Soc.,1961,P.218-223.

[2] Caton,P.G.,The measurement of wind and convergence by Doppler radar,Preprints Tenth Weather Radar Conf.,Amer.Meteor. Soc.,1963,P.290-296.

[3] Browning,K.A.,and R.Wexler,The determination of kinematic properties of a wind field using Doppler Radar,J.Applied. Meteor.,1968,Vol.7,p.105-113.

[4] P.Waldteufel and II.Corbin,On the analysis of single-Doppler radar data,J.Appl.Meteor.,1979,18,532-542.

[5] 魏鸣等，单多普勒雷达资料的VVP方法三维风场反演[博士论文], 南京大学, 1998.

[6] J.M.Ortega，张丽君等译，数值分析，北京：高等教育出版社，1984.

[7] Xin.L., VVP technique applied to an Alberta storm,Journal of Atmosphereic and Oceanic Technology, 1998,15,587-592.

[8] 陈台琦等，单多普勒雷达测风技术之探讨，台湾，八十四年气象雷达应用与四维资料同化研讨会论文汇编，1995，38-51.

[9] 林成森，数值计算方法（上、下册），北京：科学出版社，1998.